新たなサンプルを抜き取った場合の予測値を求める

(問題)
　ある機械で生産された $5$ 個の製品の重量[$\mathrm{g}$]を測定したところ、
$$ 295,　305,　292,　288,　300$$であった。新たなサンプルの製品を1個抜き取ったときに、その製品の重さが $300±5$ の範囲にある確率はいくらか。

　まず、よくある間違いについて。

標本の平均値 $\overline{ X }$は、
$$\overline{ X }=\frac{295+305+292+288+300}{5}=296$$ 不偏分散 $s^{2}$ は、
$$s^{2}=\frac{(295-296)^{2}+\cdots+(300-296)^2}{5-1}=44.5$$ なので、標準偏差は $s=\sqrt(44.5) \approx 6.67$ となる。よって、正規分布を考えて・・・

　上記が間違っている点は、平均値 $\overline{ X }$ や不偏分散 $s^{2}$ は、母平均や母分散そのものではなく、今回偶然得られた 推定値の1つ であるという点です。同様の測定を繰り返し、複数の推定値を得たならば、標本の平均や不偏分散はある分布に従うはずです。どのような分布に従うか確認していきましょう。

考え方
最初の問題を解く

考え方

確率変数 $ X $ が正規分布$ N(\mu ,\sigma ^{2}) $ に従うとき、その平均値 $\overline{ X }$ は、
$$\overline{ X }=\frac{X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{n}}{n}$$ であり、$X_{1} , X_{2} , \cdots , X_{n}$ がそれぞれ独立であることから、

\begin{align*}
E(\overline{ X })&=\frac{E(\overline{ X_{1} })}{n}+\frac{E(\overline{ X_{2} })}{n}+\cdots+\frac{E(\overline{ X_{n} })}{n}=n\cdot \frac{\mu}{n}=\mu\\\\
V(\overline{ X })&=\frac{E(\overline{ X_{1} })}{n^{2}}+\frac{E(\overline{ X_{2} })}{n^{2}}+\cdots+\frac{E(\overline{ X_{n} })}{n^2}=n\cdot \frac{\sigma ^{2}}{n^{2}}=\frac{\sigma^{2}}{n}
\end{align*}

となる。次に、確率変数 $ X-\overline{ X }$ について考えると、 $ X$ と $\overline{ X }$ は独立なので、その期待値は

\begin{align*}
E(X-\overline{ X })&=E(X)-E(\overline{ X })=\mu-\mu=0
\end{align*}

であり、分散は

\begin{align*}
V(X-\overline{ X })&=V(X)＋V(\overline{ X })=\sigma^{2}+\frac{\sigma^{2}}{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)\sigma^{2}
\end{align*}

である。つまり、確率変数

\begin{align*}
Z&=\frac{X-\overline{ X }}{\sqrt{\left( 1+\frac{1}{n}\right)\sigma^{2}}}
\end{align*}

が標準正規分布 $N(0,12)$ に従う。この $\sigma^{2}$ の代わりに分布をもった不偏分散 $s^{2}$ を用いるとき、確率変数

\begin{align*}
t&=\frac{X-\overline{ X }}{\sqrt{\left( 1+\frac{1}{n}\right)s^{2}}}
\end{align*}

は自由度 $n-1$ の$t$ 分布に従うことが知られています。

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(問題)
　ある機械で生産された $5$ 個の製品の重量[$g$]を測定したところ、$$ 295,　305,　292,　288,　300$$ であった。新たなサンプルの製品を1個抜き取ったときに、その製品の重さが $300±5$ の範囲にある確率はいくらか。

　標本の平均値 $\overline{ X }$は、$$\overline{ X }=\frac{295+305+292+288+300}{5}=296,$$ 不偏分散 $s^{2}$ は、
$$s^{2}=\frac{(295-296)^{2}+\cdots+(300-296)^2}{5-1}=44.5$$ なので

\begin{align*}
t&=\frac{X-296}{\sqrt{\left( 1+\frac{1}{5}\right)\times44.4}}=\frac{X-296}{\sqrt{\left(\frac{6}{5}\right)\times44.4}}
\end{align*}

であり、$X=295,305$ に相当する $t$ は、それぞれ $t=−0.137,1.23$ であるから、自由度 4 $(=5-1)$ の $t$ 分布を調べて、

\begin{align*}
P(X<295)&=P(t<−0.137)=0.370\\\\ P(X<305)&=P(t<1.23)=0.168 \end{align*}

なので、

\begin{align*}
P(295\leq X \leq 305)=1-(0.370+0.168)=0.463
\end{align*}

と求まる。よって、新たに抜き取ったサンプル $X$ が $300±5$ に入る確率は、$46.3%$ であり、$53.7%$ は入らないということになる。

新たなサンプルを抜き取った場合の予測値を求める(t分布)

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